非参数检验的多因素方差分析—ART与GEE

在处理数据时，有时会面临使用非参数数据，或者数据非正态或非方差齐性的问题，此时，传统的因素分析方法也便可能不再适用。

众所周知，传统的F检验需要满足三个条件：

1. 独立性假设：即样本之间必须相互独立
2. 正态性假设：每组数据应该来自一个正态分布
3. 方差齐性假设：各组数据的方差应当相等

然而，在实际研究中，很多研究者其实会忽略对数据的正态与齐性检验，并直接进行F检验，这样的检验方式无疑会增加结果假阳性（I型错误）的概率。

另外一种常见的方式是使用单因素非参数检验例如Wilcoxon检验， 弗里德曼检验(Friedman test)等。但是，这些方法无法处理多因素的情况，特别是无法处理因素之间的交互作用。

因此，对于不满足参数检验而需要使用非参数据检验的数据，则需要使用其他的方法来解决。

有学者整理了常见的一些统计方法，汇总表格如下(Wobbrock et al., 2011)¹：

目前来说，主要有两种思路：

广义估算方程(Generalized Estimating, GEE)

广义估算方程（Generalized Estimating Equations, GEE）是一种用于处理相关性数据（如时间序列数据、分层数据等）的统计方法，特别适用于纵向数据或重复测量数据的分析。GEE是在广义线性模型（Generalized Linear Models, GLM）的基础上发展而来的，旨在解决数据之间的相关性问题。

主要特点

1. 处理相关性：GEE能够有效处理重复测量或分层数据中的相关性，避免了传统线性回归模型对数据独立性的严格要求。
2. 稳健性：即使在协方差结构指定不完全正确的情况下，GEE仍能提供渐近正确的参数估计和可信区间。这使得GEE在处理缺失数据或观测次数不均等的情况下表现出色。
3. 灵活性：GEE可以适用于多种类型的反应变量，并且允许多种类型的自变量。

应用场景

• 纵向数据分析：例如，研究同一组对象在不同时间点的表现（如临床试验中的患者反应）。
• 多重比较：在进行多重假设检验时，GEE能够提供对组内相关性的考虑，从而更准确地评估处理效果。
• 缺失数据处理：在面对缺失数据时，GEE能够有效利用可用数据进行分析，而不需要完全的数据集。

对齐秩转换(Aligned Rank Transform, ART)

ART适用于处理不符合正态分布假设的数据。ART的主要原理是通过对数据进行对齐(Alignment)和排序(Ranking)，使其能够用于传统的方差分析(ANOVA)，同时能够分析主效应和交互效用。

程序原理

从原理上，该算法基于五个基本步骤：

（1）计算残差

\(residual = Y – cell mean\)

其中，cell mean的算法示例如下：

（2）计算所有主效应和交互效应的估计效应值(这一步参见Wobbrock的文章，见文末)

（3）计算对齐后的Y’

\(Y’ = residual + estimated effect\)

（4）对Y’进行排序，得到Y”

（5）对Y”数据进行正常的ANOVA即可

具体实操：

其实如果严格按照上述的流程来做的话，数据分析流程实际上是十分复杂的，因此，ART的作者在论文中提到自己开发一个工具，并且我在来链接中也找到了他们做的转换工具，可以一键将初始数据转换为Y”数据，这样经过转换我们仅需要在SPSS中执行分析即可，工具链接可见：ARTool (washington.edu)。

接下来举个例子，假如现在有两个自变量分别为A（被试间两水平）、B（被试内两水平），一个因变量Y（连续变量）。

由于我们的数据未通过正态性检验与方差齐性检验，因此，现在考虑使用ART分析方法。

（1）使用ART作者Wobbrock开发的工具，计算出A、B、A*B(交互作用) 的对齐秩次，分别标记为ART(Y) for A，ART(Y) for B， ART(Y) for A*B。

（2）将数据导入SPSS，注意，由于B为被试内变量，因此仍然按照被试内变量的方式是排列，如下图：

（3）执行重复测量ANOVA（重要！）

这里要注意，ART的主效应、交互效应是分开单独做的。
例如，想要做B的主效应，在选择主体内变量时仅选择ART_for B的值，在输出结果中，也仅看B的主效应（其他例如A、A*B都不看！）

依次类推，共做三次，分别做出A、B与A*B三个效应即可。

注意事项：
如果是完全被试间设计，就按照被试间设计的SPSS分析方法来。

对于该方法的使用，其实可能也存在一些问题。例如Luepsen, H. (2017)²在其文章中就指出，当平均每个处理组的样本量大于10时，应该尽量避免使用ART，因为这可能会导致一类错误的概率上升。当然，后续Elkin et al., (2021)³对ART又进行了一次校准，成为ART-C，如果感兴趣，也可以进一步了解一下。

相关链接：

1. Aligned Rank Transform ANOVA | Real Statistics Using Excel (real-statistics.com)
2. ARTool (washington.edu)

参考文献

1. Wobbrock, J. O., Findlater, L., Gergle, D., & Higgins, J. J. (2011). The aligned rank transform for nonparametric factorial analyses using only anova procedures. Proceedings of the SIGCHI Conference on Human Factors in Computing Systems, 143–146. https://doi.org/10.1145/1978942.1978963 ↩︎
2. Luepsen, H. (2017). The aligned rank transform and discrete variables: A warning. Communications in Statistics-Simulation and Computation, 46(9), 6923-6936. ↩︎
3. Elkin, L.A., Kay, M., Higgins, J.J. and Wobbrock, J.O. (2021). An aligned rank transform procedure for multifactor contrast tests. Proceedings of the ACM Symposium on User Interface Software and Technology (UIST ’21). Virtual Event (October 10-14, 2021). New York: ACM Press, pp. 754-768. ↩︎

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（注：以上内容系本人原创，创作不易，如若转载敬请注明出处，感谢！）